原標(biāo)題：為什么磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度等于零？《張朝陽的物理課》介紹畢奧-薩伐爾定律

為什么磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度等于零？怎么計(jì)算恒定電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度？洛倫茲力的微分形式是怎樣的？8月5日12時，《張朝陽的物理課》第七十六期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，先帶著網(wǎng)友們復(fù)習(xí)了麥克斯韋方程組，然后介紹了洛倫茲力的微分形式，接著介紹了安培環(huán)路定理與畢奧-薩伐爾定律，最后分別使用了畢奧-薩伐爾定律與安培環(huán)路定理求出了無窮長直電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

認(rèn)識電流密度與電荷密度的關(guān)系 探尋微分形式的洛倫茲力

帶電粒子在電磁場中不僅會受到電場的作用力，還會受到磁場的作用力，這個力就是洛倫茲力。帶電量為q的粒子在電磁場中受到的合力為：

在很多實(shí)際場景中，人們需要求解的是帶有電荷分布、電流分布的物體所受的電磁力，因此微分形式的受力公式更方便。為了找出相應(yīng)的形式，張朝陽考慮了一個以速度v運(yùn)動的帶電微元dτ，電荷密度為ρ，根據(jù)上面的公式，這個帶電微元所受電磁力為：

其中j=ρv是電流密度。電流密度與電荷密度的這個關(guān)系之所以成立，是因?yàn)殡娏鞯男纬稍从陔姾傻囊苿樱鶕?jù)電流密度的定義即知道此關(guān)系的成立。上式就是微分形式的電磁力公式。如果在等式兩邊同時除以dτ，那么：

其中等號左邊的量是單位體積上的力。

麥克斯韋方程組只對電磁場作出了限制，它們在處理電磁場中的物體動力學(xué)時是不足的，必須引入電磁力方程與力學(xué)定律。另一方面，雖然電荷守恒方程可以由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來，但是由于電荷守恒是一個很重要的結(jié)論，在計(jì)算上也經(jīng)常用到，因此電荷守恒方程也經(jīng)常被單獨(dú)列出來。總的來說，在求解電動力學(xué)的問題時，所用電磁學(xué)方程一個有六個：

(張朝陽介紹電動力學(xué)中常用的六個方程)

磁感應(yīng)強(qiáng)度怎么求？ 安培環(huán)路定理與畢奧-薩伐爾定律

介紹完洛倫茲力之后，張朝陽開始介紹安培環(huán)路定理與畢奧-薩伐爾定律。安培環(huán)路定理本質(zhì)上是第四個麥克斯韋方程在穩(wěn)恒情況下的特例，此時電場不隨時間變換，因此：

寫成積分形式，并使用斯托克斯定理后可以得到：

這就是安培環(huán)路定理。在一些對稱性良好的情況下，使用安培環(huán)路定理可以很方便地求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。

對于一般的電流分布，應(yīng)該怎樣求它的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布呢？這就需要使用畢奧-薩伐爾定律了：

其中dτ’是r’對應(yīng)的體積元，e_{r-r’}是從r’指向r的單位矢量。

在上一次直播課中，張朝陽不加證明地使用了“恒定電流產(chǎn)生的磁場的散度為零”這樣一個結(jié)論，在本次直播課中，他借助畢奧-薩伐爾定律給出了證明。首先，直接取上式的散度，注意到散度是對r而非r’做的，因此可以直接移進(jìn)積分好，得到：

然后，利用公式：

可以得到：

其中第二個等號之所以成立是因?yàn)殡娏髅芏萰是r’的函數(shù)，而旋度算符是對變量r作用的。接下來需要求出上式最后一行中大圓括號中的旋度結(jié)果，為此，張朝陽將整個系統(tǒng)平移使得r’來到坐標(biāo)原點(diǎn)，然后借助球坐標(biāo)的表達(dá)式：

于是：

這樣立即得到：

這正是上一次直播課引用的結(jié)果。

(張朝陽推導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度)

張朝陽強(qiáng)調(diào)，可以通過對畢奧-薩伐爾定律表示的磁感應(yīng)強(qiáng)度求旋度來證明安培環(huán)路定理，他建議網(wǎng)友們可以嘗試推導(dǎo)一下。

磁學(xué)定律初試牛刀 求解無窮長直電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度

作為安培環(huán)路定理與畢奧-薩伐爾定律的應(yīng)用，張朝陽介紹了無窮長直電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的求解。

假設(shè)無窮長直電流dI被放在z軸上，考慮距離電流導(dǎo)線為R的位置，這里的磁感應(yīng)強(qiáng)度有多大呢？

(張朝陽計(jì)算無窮長電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度所用示意圖)

張朝陽先使用了畢奧薩伐爾定律。由于電流只在z軸上有分布，因此電流密度為：

所以：

假如矢量k與e_r所組成的平面平行于紙面，并且e_r在電流的右邊，那么矢量k×e_r是指向紙面向內(nèi)的，這就是磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向。設(shè)矢量k與e_r夾角為θ，那么容易知道sin(θ)=R/r，所以：

可見，直接用畢奧-薩伐爾定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度是比較繁瑣的。由于這個模型具有旋轉(zhuǎn)對稱性，結(jié)合右手定則可以知道磁感應(yīng)強(qiáng)度分布具有旋轉(zhuǎn)對稱性，并且在電流的右邊時磁感應(yīng)強(qiáng)度是指向紙面向內(nèi)的。在垂直電流的平面上以電流所在位置為圓心作一個半徑為r的圓形環(huán)路。根據(jù)這里的分析，可以知道磁感應(yīng)強(qiáng)度在圓形環(huán)路上處處與環(huán)路相切，因此：

另一方面，根據(jù)安培環(huán)路定理可以知道：

所以：

這個結(jié)果與直接使用畢奧-薩伐爾定律所求結(jié)果是一致的，而且，使用安培環(huán)路定理更方便，可以避免繁瑣的積分運(yùn)算。

(張朝陽使用畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)無窮長電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度)

據(jù)了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關(guān)注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點(diǎn)”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細(xì)文章。

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